【算法编程】小学数学题难倒博士[小学考试]

　　昨天在科学网上得知这样一个新闻《越南小学数学题难倒博士》，据悉题目来自越南保禄小学三年班，不过报道称该题难倒了上至博士下至家长，未免也太言过其实了。

　　题目描述 学生需要在下图表格中按由上至下、从左到右的顺序，填入1~9的数字，可重复填写，并按先乘除后加减（图中冒号代表除法）的运算法则，完成整条算式。

　　解题方法 显然，这题对于我们这种程序员来说完全不是问题，只要在大一上过C语言的学生(我们学校全校都学过C，即使是文科专业)基本上都可以用九重for循环来穷举解出此题，下面我分别用C和Matlab实现，并对Matlab算法进行了改进。

　　C语言实现： 结果显示如下：

　　Matlab实现 最直接的方法：耗时4911.131591 秒。 在上面的算法中，存储结果answer的操作十分耗时，我们可以想办法来优化。于是，我将存储结果的过程注释掉后（去掉if语句块），耗时为16.814298 秒，时间由一个小时缩短到了十几秒。不过即使不储存结果，也耗时16.814298 秒，这与用C语言（同样也没有存储结果）的4秒还是有差距的！下面我来讲讲如何改进算法。

　　改进的matlab实现 在之前的文章《Matlab高效编程技巧》中，提到了要尽量避免多重循环，多使用向量化函数。因此，我决定用矩阵来代替这9重循环。

　　首先从简单的例子出发：假设有2个一维数组a,b，其元素都是1：9，显然这2个数组任意元素之间进行四则运算（在这里我们假设是相乘）的结果有9*9项，可以用一个9*9的二维数组表示；同理，假设有3个一维数组a,b,c，其元素都是1：9，我们要计算这三个数组任意元素之间进行四则运算的结果，这样总共有9*9*9项，正好用一个9*9*9的三维数组存储；依此类推，我们可以得到9个一维数组元素间进行四则运算可以用9*9*9*9*9*9*9*9*9*9的9维数组表示。

　　然而，在matlab中，*只能用于二维数组的相乘，幸好我们可以通过bsxfun函数来进行不同维数数组的计算.下面举例演示一下bsxfun的用法：

　　通过运行上述结果，你就可以发现，bsxfun完成了任意元素间两两进行四则运算的结果,而且并不要求维数相等。当然关于bsxfun的运算原理以及作用可以查看Matlab的自带文档。我们的算法只需要上述的功能就可以了，在程序中，我按照公式a+13*b/c+d+12*e-f-11+g*h/i-10计算了当的所有组合的值，并存储在abcdefghi中，最后再找到数组abcdefghi中值为66的元素所在的下标索引，其索引就是问题的解。具体的Matlab程序实现如下：

　　运行结果如下图：

　　从图中可以看到，此方法耗时4.183608秒，图中我只显示了前十个结果，并且只计算了第一个结果45所对应的abcdefghi的值，其值在下图的变量空间中：

　　从上图中可以看出，counter大小为442232，即总共有442232个解，其中counter(1)=45时，对应的解为abcdefghi=9 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1。

　　注释：此程序在内存较小的电脑中会由于内存不够而运行不成功，我是在实验室的工作站（内存128g）上运行的。

　　结果分析 使用matlab编程时，要避免使用多重循环，尽量以矩阵的角度思考问题。由上面的程序耗时对比可以看出，用C语言实现和我改进的算法耗时都在4秒左右，而且用C语言实现是在没有存储解的结果的情况下，如果同样的要存储结果（存储结果可以用不同的数据结构：链表、队列等等）的话，谁更耗时还说不定！由文中提到的两种matlab实现可知，第一种方法占用内存小，可以在普通的电脑上运行，但是耗时长；而我们改进的算法，耗时短，但是占用内存大，在内存小的机器上无法运行。这就是所谓的时间换空间，空间换时间吧！

　　原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/46012217

　　作者：nineheadedbird